Modulaariset muodot

Modulaariset muodot syntyvät kompleksiluvuista. Otetaan esimerkiksi neliö. Neliö voidaan kääntää, ja se näyttää samalta, joten sillä on sekä peili-, että kiertosymmetriaa. Tätä samanlaista matematiikkaa käytetään fysiikassa hiukkasten olemusten esiintuomiseen. Fyysikko Roger Penrose (1970) leikitteli tasokuvioilla, ja rakenteli leija-nuolista pintoja, jotka loivat näennäisellä symmetriallaan aivan uuden matematiikan alan. Modulaariset muodot ovat neljännessä ulottuvuudessa liikkuvia täysin symmetrisiä olentoja. Yllä M.C.Escherin luoma kuva modulaarisesta hyperbolisesta maailmasta, joka on siirretty kaksiulotteiseen tasoon. Hyperbolisessa avaruudessa modulaariset muodot poikkeavat toisistaan ainoastaan niiden sisältämien elementtien perusteella. Tästä syntyy modulaaristen muotojen sarja, M-sarja. Yutaka Taniyama keksi 1955, että jokainen modulaarinen sarja omaa vastaavan E-sarjan. Tämä oli silloista matemaattista maailmaa järkyttävä tieto, sillä elliptiset yhtälöt ovat aivan eri puolella matemaattista maailmankaikkeutta kuin modulaariset muodot. Tästä seurasi yllättävä uutinen: Gerhard Frey kirjoitti Fermat´n yhtälöstä johdetun laskun, joka oli elliptisen yhtälön muotoa. Tällä yhtälöllä ei voinut olla vastaavaa M-sarjaa. Tästä seuraa mielenkiintoisia päätelmiä: jos Taniyaman otaksuma on totta, on jokaisen elliptisen yhtälön oltava modulaarinen, ja koska Freyn kirjoittamalla yhtälöllä ei ollut modulaarista muotoa, ei näin muodostetulla Fermat'n yhtälöllä ole ratkaisua= Fermat'n lause on tosi. Mutta. Nyt pitää todistaa, että Taniyaman otaksuma on totta.